Un profesor de la Universidad Rutgers-New Brunswick que ha dedicado su carrera a resolver los misterios de las matemáticas superiores ha resuelto dos problemas fundamentales separados que han desconcertado a los matemáticos durante décadas.
Las soluciones a estos problemas de larga data pueden mejorar nuestra comprensión de las estructuras y simetrías de la materia en la naturaleza y la ciencia, y el comportamiento a largo plazo de diversos procesos aleatorios que surgen en campos que van desde la química y la física hasta la ingeniería, la informática y la economía.
Pham Tipp, Joshua Berlage, profesor distinguido de Matemáticas en el Departamento de Matemáticas de la Escuela de Artes y Ciencias de Rutgers, completó una prueba de la conjetura de la altura cero en 1955, un destacado matemático germano-estadounidense que murió en 1977. La conjetura, generalmente considerada como el desafío más destacado en un campo de las matemáticas conocido como teoría de la representación de grupos finitos, se publicó en la edición de septiembre de Historia de las Matemáticas.
“Una hipótesis es una idea que uno cree que tiene cierta validez”, dijo Tipp, quien ha pensado en el problema de Brauer durante la mayor parte de su carrera y ha trabajado intensamente en él durante los últimos 10 años. “Pero la hipótesis tiene que ser probada. Esperaba mejorar el campo. Nunca esperé poder resolverlo”.
En cierto sentido, Type y sus colegas seguían un modelo para los desafíos que Brouwer les planteó en una serie de conjeturas matemáticas publicadas en las décadas de 1950 y 1960.
“Algunos matemáticos tienen este genio poco común”, dijo Tip sobre Brauer. “Es como si fueran de otro planeta o de otro mundo. Son capaces de ver fenómenos ocultos que otros no pueden”.
En un segundo avance, Tipp resolvió un difícil problema conocido como teorema de Deligne-Luztigue, parte de la maquinaria básica de la teoría de la representación. Toque el rastro de progreso, una característica importante de una matriz rectangular conocida como matriz. La traza de una matriz es la suma de sus elementos diagonales. El trabajo se detalla en dos artículos, uno de los cuales fue publicado Resultados matemáticosvol. 235 (2024), segundo en historia, Volumen 200 (2024).
“El trabajo de alta calidad de Tiep y la experiencia limitada del grupo han ayudado a Rutgers a mantener su estatus como uno de los principales centros globales en este campo”, afirmó Stephen Miller, profesor distinguido y presidente del Departamento de Matemáticas. “Uno de los grandes logros del siglo XXmetro La matemática del siglo fue la llamada, aunque quizás con un nombre engañoso, clasificación de grupos finitos “simples”, y es sinónimo de Rutzer: partió de aquí y aquí se descubrieron muchos ejemplos interesantes. A través de su increíble y sólido cuerpo de trabajo, Tipp aporta visibilidad internacional a nuestro departamento”.
Es probable que los conocimientos de la solución mejoren en gran medida la comprensión de la traza por parte de los matemáticos, dijo Tipp. La solución proporciona información sobre otros problemas importantes de las matemáticas, incluidas las conjeturas planteadas por el matemático de la Universidad de Florida, John Thompson, y el matemático israelí Alexander Lubotzky, añadió.
Ambos avances son avances en la teoría de la representación de grupos finitos, un subconjunto del álgebra. La teoría de la representación es una herramienta importante en muchas áreas de las matemáticas, incluida la teoría de números y las ciencias físicas, incluida la geometría algebraica y la física de partículas. A través de objetos matemáticos conocidos como grupos, la teoría de la representación se ha utilizado para estudiar la simetría en moléculas, cifrar mensajes y crear códigos de corrección de errores.
Siguiendo los principios de la teoría de la representación, los matemáticos toman las formas abstractas que existen en la geometría euclidiana (algunas de ellas extremadamente complejas) y las convierten en números. Esto se puede lograr identificando puntos específicos que existen en cada forma tridimensional o de dimensiones superiores y convirtiéndolos en números colocados en filas y columnas.
La operación inversa también debe funcionar, dijo Tip: uno debe poder reconstruir la forma a partir de la secuencia de números.
A diferencia de muchos de sus colegas en ciencias físicas, que a menudo utilizan dispositivos complejos para avanzar en su trabajo, Tip dijo que utiliza sólo lápiz y papel para realizar su investigación, que ha resultado en cinco libros y más de 200 artículos en las principales revistas matemáticas hasta la fecha. . tiene .
Escribe oraciones que indican fórmulas matemáticas o cadenas de lógica. Mantiene conversaciones constantes con colegas, en persona o por Zoom, mientras avanza paso a paso a través de una prueba.
Pero el progreso puede surgir de la reflexión interna, dice Tipp, y las ideas surgen justo cuando él lo espera.
“Tal vez estoy caminando con nuestros hijos o haciendo algo de jardinería con mi esposa o haciendo algo en la cocina”, dijo. “Mi esposa dice que siempre sabe cuándo estoy pensando en matemáticas”.
En la primera prueba, Type colaboró con Gunter Malle de la Technische Universität Kaiserslautern en Alemania, Gabriel Navarro de la Universitat de Valencia en España y Amanda Schaefer Fry, ex estudiante de posgrado de Type, que ahora está en la Universidad de Denver.
Para el segundo avance, Tipp trabajó con Robert Guralnik de la Universidad del Sur de California y Michael Larsen de la Universidad de Indiana. En el primero de dos artículos que tratan de problemas matemáticos en TRACE y su solución, Tipp trabajó con Guralnik y Larsen. Tipp y Larsen fueron coautores del segundo artículo.
“Los tipos y coautores han logrado limitaciones en los rastros que nunca podríamos esperar obtener”, dijo Miller. “Este es un tema maduro que es importante desde muchos ángulos, por lo que el progreso es difícil… y las aplicaciones son muchas”.