Varias áreas de las matemáticas se desarrollaron en completo aislamiento, utilizando sus propios lenguajes codificados “difusos”. Un nuevo estudio publicado en PNASTamás Hausel, profesor de matemáticas en el Instituto de Ciencia y Tecnología de Austria (ISTA), presenta “big algebra”, un ‘diccionario’ matemático bidireccional entre simetría, álgebra y geometría, que puede fortalecer la conexión entre los mundos distantes de la física cuántica y teoría de números.
El conjunto de herramientas técnicas: simetría y variabilidad, de la estética a la funcionalidad
- simetría No es sólo una cuestión de belleza y equilibrio, sino también una característica muy recurrente en todos los ámbitos de la vida. Matemáticamente, la simetría es una forma deinvariancia‘: Incluso sujeto a algunas operaciones o transformaciones, un objeto matemático simétrico permanece sin cambios.
- El grupo de todas las transformaciones bajo las cuales un objeto matemático permanece invariante se llama “Grupo de simetría.’
- La simetría se puede clasificar como rotación de un círculo o de una esfera.continuamente.’ (Por el contrario, un ejemplo deaislado‘ La simetría es la imagen especular de un objeto bilateralmente simétrico, como el ala de una mariposa.)
- Los grupos de simetría continua se representan matemáticamente por matriz – matrices rectangulares de números – que pueden transformar propiedades de objetos matemáticos en álgebra lineal.
- Un grupo de simetría continuo se llama ‘cambiable‘cuando el orden de las operaciones o transformaciones no importa, o’no transformador‘ En el caso contrario.
- La rotación de un círculo se ve como una Grupos de simetría continua variable.. En cambio, el grupo de simetría del planeta Tierra no es invariante: si uno empieza a mirar el ecuador que pasa por África, rotar hacia la izquierda y luego hacia abajo no da el mismo resultado. En el primer caso, la perspectiva estaría centrada en el Polo Sur. En el segundo, se llegaría al ecuador del hemisferio occidental y los polos se ubicarían horizontalmente.
- Grupos de simetría no invariantes Hasta ahora representado por Matriz no conmutativaEs decir, la matriz donde el orden de las operaciones incide en el resultado final. Sin embargo, esto no permite una interpretación geométrica porque aún no se comprende bien la geometría de las álgebras no conmutativas. Por otro lado, las álgebras conmutativas se entienden mejor a través de su geometría.
- A “Gran Álgebra” Una “traducción” no conmutativa del álgebra matricial y, por tanto, permite el uso de técnicas de geometría algebraica. En consecuencia, las grandes álgebras arrojan nueva luz sobre las propiedades de los grupos de simetría continua no conmutativa.
Las matemáticas, la más exacta de las disciplinas científicas, pueden verse como la búsqueda definitiva de la verdad absoluta. Sin embargo, los caminos matemáticos hacia la verdad a menudo tienen que superar obstáculos formidables, como conquistar picos montañosos inimaginablemente altos o construir puentes gigantescos entre continentes aislados. El mundo de las matemáticas está lleno de misterios y varias disciplinas matemáticas se han desarrollado de manera compleja, en completo aislamiento unas de otras. Por lo tanto, establecer una verdad irrefutable en torno a fenómenos complejos en el mundo físico se basa en gran medida en intuición y abstracción. Incluso los aspectos fundamentales de la física llevan a las matemáticas a nuevas alturas de complejidad. Esto es especialmente cierto en el caso de las simetrías, con las que los físicos han teorizado y descubierto todo un zoológico de partículas subatómicas que componen nuestro universo.
En un esfuerzo excepcionalmente ambicioso, el profesor Tamás Hausel del Instituto de Ciencia y Tecnología de Austria (ISTA) no sólo hizo conjeturas sino que también demostró una nueva herramienta matemática llamada “gran álgebra”. Este nuevo teorema es comparable a un ‘diccionario’ que explica los aspectos más abstractos de la simetría matemática utilizando geometría algebraica. Trabajando en la intersección de la simetría, el álgebra abstracta y la geometría, Big Algebra utiliza información geométrica más concreta para recuperar información matemática sofisticada sobre la simetría. “Con grandes álgebras, la información de la ‘punta del iceberg matemático’ puede darnos una visión sin precedentes de las profundidades ocultas del misterioso mundo de los grupos de simetría”, dijo Hausel. A través de estos avances matemáticos, Haussel intenta acercar la conexión entre dos campos de las matemáticas distantes: “Por un lado, un mundo de representaciones matemáticas de la física cuántica, y por otro, el muy, muy lejano, mundo puramente matemático de los números”. Teoría. Con el presente trabajo, soy uno de estos dos mundos un paso más hacia el establecimiento de una conexión estable.
No más perdidos en la traducción
17metro– El filósofo y matemático de principios de siglo René Descartes nos mostró que podemos comprender la geometría de los objetos mediante ecuaciones algebraicas. Por tanto, fue el primero en “traducir” información matemática entre estos diferentes campos. “Me gusta ver las relaciones entre diferentes campos matemáticos como léxicos que traducen información entre lenguajes matemáticos que a menudo no son mutuamente comprensibles”, dice Housel. Hasta la fecha, se han desarrollado varios “diccionarios” matemáticos de este tipo, pero algunos traducen datos en una sola dirección, de modo que los datos devueltos están completamente cifrados. Además, el término “álgebra” hoy en día incluye tanto el álgebra clásica, como lo era en la época de Descartes, como el álgebra abstracta, es decir, el estudio de estructuras matemáticas que no necesariamente pueden expresarse en valores numéricos. Esto añade otra capa de complejidad. Ahora, Housel utiliza el álgebra abstracta y la geometría algebraica como un “diccionario” de dos vías.
Un esqueleto y nervios
En matemáticas, la simetría se define como una forma de “invariancia”. Un grupo de transformaciones que dejan un objeto matemático sin cambios se llama “grupo de simetría”. Se clasifican como “continuos” (por ejemplo, la rotación de un círculo o esfera) o “discretos” (por ejemplo, el espejo de un objeto). Los grupos de simetría continua se representan matemáticamente mediante matrices: conjuntos rectangulares de números. A partir de la representación matricial de un grupo de simetría continua, Haussel pudo calcular grandes álgebras y representar geométricamente sus propiedades esenciales dibujando su “esqueleto” y sus “nervios” en una superficie matemática. Grandes esqueletos algebraicos y nervios dan lugar a atractivas formas imprimibles en 3D que reproducen aspectos sofisticados de la información matemática original, cerrando así el círculo de traducción. “Estoy particularmente entusiasmado con este trabajo, porque nos proporciona un enfoque completamente novedoso para estudiar representaciones de grupos de simetría continua. Con álgebras grandes, las ‘traducciones’ matemáticas funcionan en ambas direcciones, no solo en una dirección”.
Uniendo continentes dispares en el vasto mundo de las matemáticas
¿Cómo puede el gran álgebra fortalecer el vínculo entre la física cuántica y la teoría de números, dos campos de las matemáticas aparentemente muy separados? Primero, las matemáticas detrás de la física cuántica hacen un uso extensivo de matrices: conjuntos rectangulares de números. Sin embargo, estas matrices suelen ser “no conmutativas”, lo que significa que multiplicar la primera matriz por la segunda no produce el mismo resultado que multiplicar la segunda por la primera. Esto plantea un problema en álgebra y geometría algebraica porque el álgebra no conmutativa aún no se comprende bien. Las grandes álgebras ahora resuelven este problema: cuando se calcula, una gran álgebra es una “traducción matemática” conmutativa de un álgebra matricial no conmutativa. De esta manera, la información inicialmente encerrada en matrices no conmutativas puede decodificarse y representarse geométricamente para revelar sus propiedades ocultas.
En segundo lugar, Hausel demostró que las álgebras grandes no sólo expresan relaciones entre grupos de simetría relacionados, sino también cuando sus llamados “duales de Langlands” están relacionados. Estos duales son un concepto central en el mundo puramente matemático de la teoría de números. En el programa Langlands, un diccionario altamente complejo y de gran escala que busca unir “continentes” matemáticos dispares, el dual de Langlands es un concepto o herramienta que permite el “mapeo” de información matemática entre diferentes categorías. “En mi trabajo, las álgebras grandes parecen relacionarse precisamente con diferentes grupos de simetría cuando sus duales de Langland están relacionados, un resultado bastante sorprendente con aplicaciones potenciales en la teoría de números”, dijo Hausel.
“Lo ideal sería que el Gran Álgebra me permitiera relacionar la dualidad de Langland con la física cuántica y la teoría de números”, dice Hausel. Por ahora, pudo demostrar que el gran álgebra resuelve ambos problemas continentales. La niebla comienza a disiparse y los continentes de la física cuántica y la teoría de números vislumbran sus montañas y costas en el horizonte. Pronto, en lugar de conectar los continentes sólo por barco, un puente de gran álgebra podría permitirles cruzar fácilmente el sistema matemático que los separa.