Por regla general, el GPS indica nuestra posición con una precisión de sólo unos pocos metros. Pero todos hemos tenido experiencias en las que el posible error aumenta a varios cientos de metros o la posición indicada simplemente es incorrecta. Una de las razones de esto puede ser la orientación relativa desfavorable de un pequeño número de satélites o de satélites con comunicación directa con el aparato de navegación.
¿Cómo funciona el GPS?
Los satélites GPS están equipados con un reloj atómico de alta precisión y saben siempre su posición. Transmiten continuamente la hora y su ubicación mediante ondas de radio. Un teléfono móvil u otro dispositivo de navegación recibe estas señales de todos los satélites dentro de su alcance visual. La diferencia entre la hora de llegada al reloj local del receptor y la hora de transmisión registrada por el reloj del satélite corresponde al tiempo que tarda la señal en viajar desde el satélite hasta el receptor (“tiempo de vuelo”). Dado que las ondas de radio viajan a la velocidad de la luz, el tiempo de vuelo determina la distancia recorrida por la señal. Las posiciones y distancias de los satélites se utilizan para calcular la posición del receptor mediante un sistema de ecuaciones.
Esta descripción simplificada no tiene en cuenta el hecho de que el reloj local del receptor no es un reloj atómico. Si el error es de tan solo una millonésima de segundo, la posición calculada tendrá un error de al menos 300 metros. El problema con el GPS es que el teléfono u otro dispositivo de navegación necesita determinar la hora exacta con la ubicación, conocida en relatividad como espacio-tiempo.
Si hay muy pocos satélites en el campo visual, el sistema ya no funciona de forma fiable y ofrece múltiples soluciones, es decir, en diferentes lugares donde puede estar el receptor. Esto puede llevar a situaciones en las que un teléfono indica una ubicación incorrecta o ninguna ubicación. Hasta el momento se ha estimado el número de satélites necesarios para obtener una solución única al problema del GPS.
Cinco satélites para una localización precisa
La profesora de álgebra y geometría discreta de TU/e, Mirili Butin, y el profesor de álgebra algorítmica de TUM, Gregor Kemper, han producido ahora una prueba matemática que muestra que la posición exacta de un receptor se puede determinar de forma única con cinco o más satélites. En casi todos los casos. “Aunque se trataba de una hipótesis de larga data, nadie pudo encontrar una prueba. Y no fue fácil: trabajamos en el problema durante más de un año antes de llegar allí”, dice Gregor Kemper. Actualmente, todos los lugares de la Tierra están siempre en el campo de visión de al menos cuatro satélites. “En términos generales, con sólo cuatro satélites, parece haber un 50 por ciento de posibilidades de encontrar una solución única al problema del GPS. Demostrar esta afirmación es uno de nuestros próximos proyectos”, afirmó Kemper. Si hay tres o menos satélites en la línea de visión, la navegación GPS no necesariamente funciona.
Geometría e individualidad.
Los investigadores llegaron a la prueba caracterizando el problema del GPS en términos geométricos. Descubrieron que la posición del receptor no se puede determinar de forma única si el satélite está situado sobre el hiperboloide de revolución de las dos láminas. Es una superficie curva que está abierta por todos lados. Aunque este resultado es teórico, tiene el beneficio práctico de ofrecer una mejor comprensión de los errores de posicionamiento.